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文章作者:管理一号 | 2019-03-26
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制图:Olena Shmahalo/Quanta Magazine

来历:环球迷信

在数学中,无穷的空间应当可以包涵无穷多的器械,从原子、细菌到无穷多的行星都不在话下。可是,莫比乌斯环(Möbius band)是个例外。莫斯科州立大年夜学的数学家Olga Frolkina比来证清楚明了,有名的莫比乌斯环不克不及被无穷次地紧缩进无穷大年夜的空间中。在这篇精(bu)彩(ming)纷(jue)呈(li)的文章中,你将看到数学家怎样经过拓扑学验证莫比乌斯环嵌入空间的成绩。

不合的无穷,大小也不尽雷同。从1到无穷大年夜的天然数召集就是最小的无穷之一。天然数的召集是可数的。任何一组无穷的目标,例如将无穷多的原子、行星放进三维空间里,它都是可数的。实际上,你可以给一切的行星编号。

有些数集太大年夜而没法将其间的目标逐一列出。例如,实数包含数轴上的每个点,乃至像π如许古怪的、具有没有尽不反复小数部分的点也在内。应用由19世纪德国数学家康托尔提出的对角化(diagonalization)论证法,我们可以证明,即使是一个无穷大年夜的实数列表,也或许是不完全的。实数集明显大年夜于天然数集。它是“不可数”的无穷,或简称“不可数”。

变具象的数学

虽然如此,不可数的目标召集依然可以存在。幻想一下,怎样把一个不可数的圆筒召集塞进三维空间,而不让它们相互触摸。要做到这一点,你只需将一切的圆筒置于同一个轴上,使它们的直径分袂对应于数轴上不可数点中的一个。这些圆筒会像一套数不尽的俄罗斯套娃,由内而外嵌套在一路。

乍一看,仿佛莫比乌斯环能以类似的办法嵌套在一路。可是假设你试着在一个莫比乌斯环里边嵌套第二个环,你会发明第二个环将在第一个环的外部闭合。

关于上述的圆筒,我们很简单能差别它的表里侧。而这关于莫比乌斯环是不能够的,由于它是一类被称为非定向流形(non-orientable manifold)的有形数学目标——当你绕着它在空间中转一圈时,是没法差别固定的表里侧的。

Frolkina虽然证清楚明了莫比乌斯环没法像圆筒雷同嵌套在一路,但并没有否定它们能以更奥妙的办法嵌套的或许性。这一证明的亮点在于,它向我们展示了莫比乌斯环没法像圆筒那样嵌套的缘由。

 

Frolkina的成果容身于一个名为点集拓扑学(point-set topology)的范畴。在上世纪50至60年代,数学家们相继证清楚明了将一系列物体(例如圆盘、中空球体)嵌入进三维空间的实际。

可以说,研究者们正在使笼统的数学变得具象。拓扑学有点像简化的几何学:重要的不是精确的外形和间隔,而是大年夜标准的构造。

两种嵌入办法

在几何学中,球面是空间中与一个原点等距的一切点的召集,但在拓扑学中,将前面的构造随便揉捏、拉伸变形,只需不将其扯破或许粘合,它都算是一个球面。在空间中准肯定位拓扑球的办法被称为嵌入。一个球可以以很多不合的办法嵌入三维空间,不论是像番笕泡雷同的完美圆球形、延展成香肠雷同的外形,还是像变形虫的细胞膜雷同摇摆改变,只需这些外形满足球的定义便可。

下面比如中的嵌入被称为“驯良”嵌入(tame embedding)。驯良嵌入可以在全部空间内延展,因此拉伸或揉捏空间,可使嵌入球面变成标准圆球形。

与此相对应,“非驯”嵌入(wild embedding)则很难可视化,普通需求应用无穷来停止描述。非驯嵌入版的球面没法经过空间变形转化成圆球形。

例如,为构建亚历山大年夜带角球(Alexander horned sphere),重要需从一个类似于甜甜圈表面的圆环上切下一段,在切断后留下的空地两边分袂连接两个互锁的圆环面,并如此反复:切断每个次级圆环,刺进一对互锁的小圆环,随后切断更小的圆环。有数次实施这个置换过程后,你便可以取得亚历山大年夜带角球。虽然证明该目标在拓扑学上是一个球体其实不繁琐,但它对错驯嵌入的。将它扩大年夜后,你能在愈来愈小的标准上看到互锁的“角”。

非驯嵌入的亚历山大年夜带角球

像亚历山大年夜带角球那样的非驯嵌入很难被塞进空间里。早在20世纪中叶,数学家R.H.Bing就证清楚明了假设嵌入是驯良的,便可以将不可数无穷的球面和圆环面不堆叠地嵌入三维空间。可是,圆盘就大年夜不雷同了:将不可数的圆盘不堆叠地嵌入空间中是可行的,不论它们能否驯良。

三维与更高维度

那么莫比乌斯环可以像如许被嵌入空间中吗?1962年,俄罗斯数学家Victor Vasilievich Grushin 和 Victor Pavlovich Palamodov证清楚明了,不可数个驯良嵌入的莫比乌斯环没法被不订交地嵌入进三维空间中。可是,这对非驯嵌入的莫比乌斯环能否雷同建立仍无定论。

Frolkina参阅了他们和Bing等点集拓扑学家的作业,将定论延展到了非驯嵌入的莫比乌斯环上。她在论文等分化了嵌入的表面,并分析了这些切片在空间平分布的办法。

Frolkina还在高维空间中研究了类似成绩。她推敲了n维(n≥3)的非定向流形,并指出:这些流形中只需可数的办法可以驯良地嵌入n+1维的空间中。

她的作业并没有包含这些高维情况下的非驯嵌入。可是,莫斯科斯泰克洛夫数学研究所的数学家Sergey Melikhov审理了她的论文后,扩大了她的作业。Melikhov应用更笼统的代数办法清除Frolkina的定论在更高维度中的驯良束缚。二者的作业证清楚明了不论是应用非驯还是驯良嵌入,将不可数无穷个非定向流形紧缩到空间中都是绝无或许的。

点集拓扑的研究已不及60年代风景,可是Melikhov认为在另外一个活泼的拓扑研究范畴——纽结实际中,一些关闭性成绩具有“点集风格”。深化懂得非驯嵌入或许在这一范畴内异常有效。从某种意义上说,纽结实际中普及存在着非驯性,由于大年夜多半纽结都对错驯嵌在四周的空间中的。这些非驯嵌入招引了Frolkina,由于它们挑衅了人类懂得的极限。拓扑学家普通把他们的研究限制在符合直觉的空间成绩上,可是“当你发明一个非驯的目标,或许一个与你的直觉相对立的目标时,转机点就出现了。”


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